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请大神帮我用微积分推导球的表面积(最好用体积元...

球是圆x^2+y^2=R^2绕x轴旋转得到的几何体.在-R≤x≤R处,垂直于x轴的弦长y=√(R^2-x^2)此处取底面半径r=y,高h=dx的微元体,则球的体积元、表面积元分别为微元体(r=y,h=dx的圆柱体)的体积和侧面积∴dS=2πydx, dV=πy^2dx∴S=∫(-R,R)2πydx=∫(-R,R)2π√(R^2-x^2)dx=4πR^2,V=∫(-R,R)π(y^2)dx=∫(-R,R)π(R^2-x^2)dx=4π/3*(R^3)(定积分的具体计算比较简单,自己算算就好了)

思路是把立体图形看作平面图形旋转而成. 推导球的体积公式必须先知道圆柱的体积公式V=πr^2h 在直角坐标系上作一半径为r的圆,取第一象限的部分.这就得到了一个四分之一圆,这个四分之一圆旋转一周就是一个半球体. 在这个四分之一

用球坐标三重积分,都可以积出来

没什么公式,要求球的体积用球面坐标变换计算一个很简单滴三重积分,即I=∫∫∫F(r,ψ,θ)r^2sinψdrdψdθ,当积分区域Ω为球面r=a所围成时,此时I就是球滴体积算出来为4\3πa^3;表面积就用重积分的应用算,即A=∫∫[1+(z'x)^2+(z'y)^2]^1\2dxdy,取上半球面方程为z=(a^2-x^2-y^2)^1\2,半径为a,则它在xoy面上的投影区域D={(x,y)│x^2+y^2≤a^2},算出来是2πa^2,因为是半个球,所以乘个2就完了,很基础滴.

呵呵 我用简单的定积分做吧 首先球的体积可以理解为球的最外层是一个球壳 然后再套一个球壳一直这样无限的发展下去 这些球壳的表面积之和就是球的体积 所以积分上限是最外层的球壳半径R,下限显然就是最里边一层的球壳此时已经近似等于球心 所以取下限0 所以V球=积分上限(R)下限(0)(4pai R^2)=4/3pai R^3 =================== 这个就是比较好理解的微积分推导了 当然还有用二重积分推导也可以

楼主等一会,给你三种详细推导(证明)方法,给你做个图片. 不好意思,电脑出了点问题,现在才能将图片传上.几分钟后即可见到.

定积分的应用:旋转面的面积.好多课本上都有,推导方法借助于曲线的弧长. 让圆y=√(R^2-x^2)绕x轴旋转,得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2.求球的表面积. 以x为积分变量,积分限是[-R,R]. 在[-R,R]上任取一个子区间[x,x+△x],这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π*y*ds,ds是弧长. 所以球的表面积S=∫2π*y*√(1+y'^2)dx,整理一下即得到S=4πR^2.

很简单,把球看作无数个大小不一的同心圆堆积在一起,把同心圆距离球心的距离与同心圆的面积之间的关系表示出来,接着用下微积分就好了,具体可以加1101875387我可以再帮你

f(x) = √(r - x)the formula for the surface area rotated about the x-axis isS = 2π ∫[-r,r] f(x)&

下图提供,六种球面面积积分法,八种体积积分法. 方法尚有很多,这里只能抛砖引玉. 点击放大、再点击再放大:

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