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求z=x^2+y^2在点(1,2,5)处的切平面和法线方程

x^2+y^2-z=0 求导得2xdx+2ydy-dz=0 因此法线向量为(2x,2y,-1) 即在(1,2,5)处的法向量为(1,4,-1) 于是法线方程为 (x-1)/1=(y-4)/2=(z-5)/(-1)

令F=x^2+y^2-z,曲面方程为:F(x,y,z)=0, 对x,y,z分别求偏导F'x = 2x, F'y = 2y, F'z = -1,则曲面法向量为(2x, 2y, -1), 代入点(2,1,5)求得该点的法向量(4,2,-1)平面方程点法式:4(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0法线方程(x-2)/4=(y-1)/2=(z-5)/(-1)

设 f(x,y,z)=x^2+y^2+z-9 ,则 f'x=2x ,f'y=2y ,f'z=1 ,那么曲面在点(1,2,4)处的切面的法向量为 (f'x,f'y,f'z)=(2,4,1),因此切面方程为 2(x-1)+4(y-2)+(z-4)=0 ,化简得 2x+4y+z-14=0 .

令f(x,y,z)=x^2+y^2-z则f`x|(1,2,5)=2x|(1,2,5)=2f`y|(1,2,5)=2y|(1,2,5)=4f`z|(1,2,5)=-1|(1,2,5)=-1故这一点的法向量为(2,4,-1)切平面为2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0

平面Ax+By+z+1=0的法向量为(A,B,1),即向量(1,1,2)与该法向量平行,则A=1/2,B=1/2 这个知识点为平面方程AX+BY+CZ+D=0的法向量为(A,B,C),即为x,y,z,前的系数

求旋转抛物面z=x+y-1在点(2,1,4)处的切平面和法线方程 解:经复检查,点(2,1,4)在抛物面上.设F(x,y,z)=x+y-z-1=0;制 在点(2,1,4)处,F/x=2x(x=2)=4;F/y=2y(y=1)=2;F/z=-1;故过(2,1,4)的切平面方zhidao程为:4(x-2)+2(y-1)-(z-4)=0,即4x+2y-z-6=0为所求;过(2,1,4)的法线方程为:(x-2)/4=(y-1)/2=(z-4)/(-1).

dz=2xdx+2ydy 换个形式写,就是 (x',y',z')→(x,y,z)时2x(x'-x)+2y(y'-y)-(z-z')→0(2x,2y,-1)(x'-x,y'-y,z'-z)→0 其中(x'-x,y'-y,z'-z)是曲面上的两点连线=总是与向量(2x,2y,-1)垂直(当(x',y',z')逼近(x,y,z)时) 因此(2x,2y,-1)就是法向量

zx=2x zy=2y 所以,法向量n=(zx,zy,-1)=(2x,2y,-1)=(2,0,-1) 切平面方程为2(x-1)+0y+(-1)(z-2)=0 即2x-z=0

曲面z=x^2+y^2+3在点M处的法向量n=(2x,2y,-1)|M=(2,-2,-1)写出切平面的方程2(x-1)-2(y+1)-(z-5)=0整理为2x-2y-z+1=0可以写成z=2x-2y+1把平面和曲面z=x^2+y^2+2x-2y联立得到投影:x^2+y^2=1所以体积V=∫∫∫dxdydz=∫∫dxdy ∫(x^2+y^2+2x-2y-> 2x-2y+1)dz=∫∫(1-x^2-y^2)dxdy=∫∫(1-r^2)rdrdθ=∫(0->2π)dθ ∫(0->1) (1-r^2)rdr=π/2

微分得到dz=2xdx+2ydy,即(2x,2y,-1)点乘(dx,dy,dz)为0(2x,2y,-1)即为法线方向向量带入M点,得到法线(x-1)/2=(y-2)/4=-(z-5)

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